\subsection{反正弦函数}\label{subsec:1-1}

我们己经学习了正弦函数 $y = \sin x$ 和它的图象（图\ref{fig:1-1})。从图象可以看到，对于 $x$ 在定义域
$(-\infty, +\infty)$ 上的每一个值，$y$ 都在 $[-1, 1]$ 上有唯一的值和它对应。例如，对于 $x = \dfrac{\pi}{6}$，
有 $y = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ 和它对应。反过来，对于 $y$ $[-1, 1]$ 上的每一个值，
$x$ 有无穷多个值和它对应。例如，对于 $y = \dfrac{1}{2}$，$x$ 有 $\dfrac{\pi}{6}$，
$\dfrac{5\pi}{6}$，$\cdots$ 等无穷多个值和它对应。由此可见，确定函数 $y = \sin x$ 的映射不是定义域 $(-\infty, +\infty)$
到值域 $[-1, 1]$ 上的一一映射。函数 $y = \sin x \; (x \in (-\infty, +\infty))$ 没有反函数。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/1-1}
    \caption{}\label{fig:1-1}
\end{figure}

但由图 \ref{fig:1-2} 可以看到，在正弦函数的单调区间 $\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$
上，对于 $x$ 的每一个值，$y = \sin x$ 有唯一的值和 $x$ 对应；而对于 $x$ 的不同的值，$y = \sin x$
有不同的值和 $x$ 对应，并且随着 $x$ 由 $-\dfrac{\pi}{2}$ 增大到 $\dfrac{\pi}{2}$，$y = \sin x$
由 $-1$ 增大到 $+1$，取得 $[-1, 1]$ 上的一切值。因此，确定函数
$y = \sin x \; \left( x \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]\right)$
的映射是区间 $\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$ 到 $[-1, 1]$ 上的一一映射。
所以这个映射有逆映射，函数
$y = \sin x \; \left( x \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]\right)$
有反函数。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/1-2}
    \caption{}\label{fig:1-2}
\end{figure}

函数
$y = \sin x \; \left( x \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]\right)$
的反函数叫做\textbf{反正弦函函数}，记作 $x = \arcsin y$。

\newpage
习惯上用字母 $x$ 表示自变量，用 $y$ 表示函数，所以反正弦函数可以写成 $y = \arcsin x$，
\footnote{有的书上把反正弦函数写作 $y = \sin^{-1}x$。同样，后面讲到的反余弦函数、反正切函数、
反余切函数与写作 $\cos^{-1}x$，$\tan^{-1}x$，$\cot^{-1}x$。}
它的定义域是 $[-1, 1]$，它的值域是 $\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$。

这样，对于属于 $[-1, 1]$ 的每一个 $x$ 值，$\arcsin x$ 就表示属于
$\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$ 的唯一确定的一个值，它的正弦正好等于已知的 $x$。
也可以说，$\arcsin x$ 表示属于的 $\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$ 的唯一确定的
一个角（弧度数），这个角的正弦恰好等于 $x$。例如，对于 $x = \dfrac{1}{2}$，$y = \arcsin \dfrac{1}{2}$
就表示 $\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$ 上使 $\sin y = \dfrac{1}{2}$ 的唯一确定
的一个角，这个角是 $\dfrac{\pi}{6}$，因为根据正弦函数 $y = \sin x$ 在
$\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$ 上的单调性可以知道，在
$\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$ 上，除了 $\dfrac{\pi}{6}$ 以外，其他任何角
的正弦都不等于$\dfrac{1}{2}$。

由此可以得到
$$\sin\left( \arcsin \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{2} \text{。}$$

一般地，根据反正弦函数的定义，可以得到
$$\sin(\arcsin x) = x \text{，}$$
其中 $x \in [-1, 1]$，$\arcsin x \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$。

面我们来研究反正弦函数的图象和性质。

根据互为反函数的图象的性质，容易知道，反正弦函数 $y = \arcsin x$ 的图象就是与正弦函数 $y = \sin x$
在 $\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$ 上的一段图象关于直线 $y = x$ 对称的图形（图\ref{fig:1-3}）。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/1-3}
    \caption{}\label{fig:1-3}
\end{figure}

从图象上可以看出，反正弦函数 $y = \arcsin x$ 有以下性质：

\textbf{（1）反正弦函数 $y = \arcsin x$ 在区间 $[-1, 1]$ 上是增函数。}

\textbf{（2）反正弦函数 $y = \arcsin x$ 的图象关于原点对称，这说明它是奇函数。也就是
$$\arcsin(—x) = -\arcsin x, \; x \in [-1, 1] \text{。}$$}

\liti 求下列反正弦函数值：
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.8}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$\arcsin \dfrac{\sqrt{2}}{2}$；} & \xiaoxiaoti{$\arcsin 0.2672$；} \\
        \xiaoxiaoti{$\arcsin \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$；} & \xiaoxiaoti{$\arcsin(-1)$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}

解：（1）因为在 $\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$ 上，$\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，所以
$$\arcsin \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\pi}{4} \text{。}$$

注意：虽然 $\sin\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，但是
$\dfrac{3\pi}{4} \notin \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$，所以
$\arcsin \dfrac{\sqrt{2}}{2} \neq \dfrac{3\pi}{4}$。同理，
$\arcsin \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 也不等于其他值
$\left( \text{如：}\dfrac{9\pi}{4}, -\dfrac{7\pi}{4} \text{等} \right)$，
只能等于 $\dfrac{\pi}{4}$。

（2）查正弦函数表，得 $\sin15^\circ30' = 0.2672$。又因为 $15^\circ30'$ 的弧度数属于
$\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$，所以
$$\arcsin 0.2672 = 15^\circ30' \text{。}$$

（3）因为在 $\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$ 上，
$\sin\left( -\dfrac{\pi}{3} \right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，所以
$$ \arcsin \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\dfrac{\pi}{3} \text{。} $$

（4）因为在 $\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$ 上，
$\sin\left( -\dfrac{\pi}{2} \right) = -1$，所以
$$\arcsin(-1) = \dfrac{\pi}{2} \text{。}$$

\liti 求下列各式的值：
\begin{xiaoxiaotis}

    \twoInLineXxt[16em]{$\sin\left( \arcsin \dfrac{2}{3} \right)$；}{$\sin\left[ \arcsin\left( -\dfrac{1}{2} \right) \right]$。}

\end{xiaoxiaotis}

\jie （1）$\because \quad x = \dfrac{2}{3} \in [-1, 1]$，

$\therefore \quad \sin\left( \arcsin \dfrac{2}{3} \right) = \dfrac{2}{3}$。

（2）$\because \quad x = -\dfrac{1}{2} \in [-1, 1]$，

$\therefore \quad \sin\left[ \arcsin\left( -\dfrac{1}{2} \right) \right] = -\dfrac{1}{2}$。

\liti 求下列各式的值：
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.5}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$\tan\left( \arcsin \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$；} & \xiaoxiaoti{$\cos\left( \arcsin \dfrac{4}{5} \right)$；} \\
        \xiaoxiaoti{$\cos(\arcsin x), \; x \in [-1, 1]$；} & \xiaoxiaoti{$\sin\left( 2\arcsin \dfrac{3}{5} \right)$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}

\jie （1） $\tan\left( \arcsin \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$。

（2）设 $\arcsin \dfrac{4}{5} = \alpha$，则 $\sin\alpha = \dfrac{4}{5}$。

由 $\alpha \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$，得 $\cos\alpha \geqslant 0$，可知
$$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \left( \dfrac{4}{5} \right)^2} = \dfrac{3}{5} \text{，}$$

$\therefore \quad \cos\left( \arcsin \dfrac{4}{5} \right) = \dfrac{3}{5}$。

（3）设 $\arcsin x = \alpha$，则 $\sin\alpha = x$，且 $\alpha \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$，
$$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - x^2} \text{，}$$

$\therefore \quad \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$。

或：由 $x \in [-1, 1]$，得 $\arcsin x \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$，可知
$$\cos(\arcsin x) \geqslant 0 \text{，}$$

$\therefore \quad \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - [\sin( \arcsin x )]^2} = \sqrt{1 - x^2}$。

（4）利用倍角公式及本例题第（3）题的结果，可知

\qquad $\begin{aligned}[t]
    \sin\left( 2\arcsin \dfrac{3}{5} \right) &= 2\sin\left( \arcsin \dfrac{3}{5} \right) \cos\left( \arcsin \dfrac{3}{5} \right) \\
    &= 2 \times \dfrac{3}{5} \times \sqrt{1 - \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} \\
    &= 2 \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25} \text{。}
\end{aligned}$

\liti 求下列各式的值：
\begin{xiaoxiaotis}

    \twoInLineXxt[16em]{$\arcsin\left( \sin\dfrac{\pi}{4} \right)$；}{$\arcsin\left( \sin\dfrac{2\pi}{3} \right)$。}

\end{xiaoxiaotis}

\jie （1） $\arcsin\left( \sin\dfrac{\pi}{4} \right) = \arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\pi}{4}$。

（2）$\arcsin\left( \sin\dfrac{2\pi}{3} \right) = \arcsin\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\pi}{3}$。

由例4 第（2）题可以看出，虽然 $\sin(\arcsin x) = x$，其中 $x \in [-1, 1]$，
但是 $\arcsin(\sin x)$ 不一定等于 $x$，而是等于在闭区间
$\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$
上与 $x$ 有相同正弦的一个值。

\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{用反正弦的形式把下列各式中的 $x \; \left( x \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right] \right)$ 表示出来：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.8}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$\sin x = \dfrac{2}{5}$；} & \xiaoxiaoti{$\sin x = -\dfrac{1}{3}$；} \\
        \xiaoxiaoti{$\sin x = 0.3147$；} & \xiaoxiaoti{$\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{4}$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{}
\begin{xiaoxiaotis}

    \vspace{-1.7em} \begin{minipage}{0.9\textwidth}
    \xiaoxiaoti{$\arcsin \sqrt{2}$ 有意义吗，为什么？}
    \end{minipage}

    \xiaoxiaoti{$\sin\left( \arcsin \dfrac{\sqrt{5}}{2} \right) = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$ 是否成立，为什么？}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{写出下列函数的定义域、值域：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.5}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$y = \arcsin 2x$；} & \xiaoxiaoti{$y = \dfrac{1}{2} \arcsin x$；} \\
        \xiaoxiaoti{$y = 3\arcsin \dfrac{2}{3} x$；} & \xiaoxiaoti{$y = 2\arcsin(1 - x)$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{求下列反正弦函数值：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.8}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$\arcsin \dfrac{\sqrt{3}}{2}$；} & \xiaoxiaoti{$\arcsin\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$；} \\
        \xiaoxiaoti{$\arcsin 0.6959$；} & \xiaoxiaoti{$\arcsin\left( -\dfrac{1}{3} \right)$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{求下列各式的值：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.8}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$\sin\left( \arcsin \dfrac{4}{5} \right)$；} & \xiaoxiaoti{$\sin\left[ \arcsin\left( -\dfrac{4}{5} \right)\right]$。}
    \end{tabular}

    %\twoInLineXxt[16em]{$\sin\left( \arcsin \dfrac{4}{5} \right)$；}{$\sin\left[ \arcsin\left( -\dfrac{4}{5} \right)\right]$。}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{求下列各式的值：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.8}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$\cos\left( \arcsin \dfrac{1}{2} \right)$；} & \xiaoxiaoti{$\tan\left( \arcsin \dfrac{3}{5} \right)$；} \\
        \xiaoxiaoti{$\tan(\arcsin x), \; x \in (-1, 1)$；} & \xiaoxiaoti{$\cos\left( 2\arcsin \dfrac{4}{5} \right)$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{求下列各式的值：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.5}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$\arcsin\left( \sin\dfrac{3\pi}{4} \right)$；} & \xiaoxiaoti{$\arcsin \left[ \sin\left( -\dfrac{3\pi}{4} \right)\right]$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}


\end{xiaotis}


